题目描述

给定一个表示分数的非负整数数组。玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。

示例 2：

输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。

提示：

1 <= 给定的数组长度 <= 20.
数组里所有分数都为非负数且不会大于 10000000 。
如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家 1 仍为赢家。

递归

为了判断哪个玩家可以获胜，需要计算一个得分差值，即先手得分赢过后手的得分。当数组中的所有数字都被拿取时，如果先手与后手得分之差大于或等于 0，则先手获胜，反之则后手获胜。

由于每次只能从数组的任意一端拿取数字，因此可以保证数组中剩下的部分一定是连续的。假设数组当前剩下的部分为下标 start 到下标 end，其中 0 ≤ start ≤ end < nums.length。如果 start = end，则只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字。如果 start < end，则当前玩家可以选择 nums[start] 或 nums[end]，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字。这是一个递归的过程。递归时记录当前做选择的玩家赢过对手的分数。如果大于等于 0，则代表他在这个子问题中赢了。

public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
    return calculate(nums, 0, nums.length - 1) >= 0;
}

public int calculate(int[] nums, int start, int end) {
    if (start == end) {
        return nums[start];
    }
    int selectStart = nums[start] - calculate(nums, start + 1, end);
    int selectEnd = nums[end] - calculate(nums, start, end - 1);
    return Math.max(selectStart, selectEnd);
}

上面的递归，其实有很多重复的计算，比如你先选 1，我再选 7，和你先选 7，我再选 1，这两种所带来的子问题是一样的，都是剩下 [5, 233]。我们用数组或哈希表去存储计算过的子问题的解，遇到重复的子问题，就不用再次递归计算。

Integer[][] maxScore;

public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
    maxScore = new Integer[nums.length][nums.length];
    return calculate(nums, 0, nums.length - 1) >= 0;
}

public int calculate(int[] nums, int start, int end) {
    if (maxScore[start][end] != null) {
        return maxScore[start][end];
    }
    if (start == end) {
        return maxScore[start][end] = nums[start];
    }
    int selectStart = nums[start] - calculate(nums, start + 1, end);
    int selectEnd = nums[end] - calculate(nums, start, end - 1);
    return maxScore[start][end] = Math.max(selectStart, selectEnd);
}

复杂度分析

时间复杂度：O(2^n)，其中 n 是数组的长度。
空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。空间复杂度取决于递归使用的栈空间。

动态规划

定义二维数组 dp，其行数和列数都等于数组的长度，dp[i][j] 表示当数组剩下的部分为下标 i 到下标 j 时，当前玩家与另一个玩家的分数之差的最大值，注意当前玩家不一定是先手。

只有当 i ≤ j 时，数组剩下的部分才有意义，因此当 i > j 时，dp[i][j] = 0。
当 i = j 时，只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字，因此对于所有 0 ≤ i < nums.length，都有 dp[i][i] = nums[i]。
当 i < j 时，当前玩家可以选择 nums[i] 或 nums[j]，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字。在两种方案中，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的分数最大化。因此可以得到如下状态转移方程：
dp[i][j] = max(nums[i] − dp[i+1][j], nums[j] − dp[i][j − 1])

最后判断 dp[0][nums.length − 1] 的值，如果大于或等于 0，则先手得分大于或等于后手得分，因此先手成为赢家，否则后手成为赢家。

public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
    int[][] dp = new int[nums.length][nums.length];
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        dp[i][i] = nums[i];
    }
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
        }
    }
    return dp[0][nums.length - 1] >= 0;
}

上述代码中使用了二维数组 dp。分析状态转移方程可以看到，dp[i][j] 的值只和 dp[i + 1][j] 与 dp[i][j − 1] 有关，即在计算 dp 的第 i 行的值时，只需要使用到 dp 的第 i 行和第 i + 1 行的值，因此可以使用一维数组代替二维数组，对空间进行优化。

public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        dp[i] = nums[i];
    }
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            dp[j] = Math.max(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1]);
        }
    }
    return dp[nums.length - 1] >= 0;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n²)，其中 n 是数组的长度。需要计算每个子数组对应的 dp 的值，共有 n * (n + 1) / 2 个子数组。
空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。空间复杂度取决于额外创建的数组 dp，如果不优化空间，则空间复杂度是 O(n²)，使用一维数组优化之后空间复杂度可以降至 O(n)。